不等式
原書名 Inequalities
著者名 細川 尋史
発行元 丸善出版
発行年月日 2003年10月
判型 A5 210×148
ページ数 430ページ
ISBN 978-4-621-06351-4
Cコード 3041
ジャンル 数学・統計学 >  数学一般・基礎数学
数学・統計学 >  数学読み物 >  その他数学読み物
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内容紹介

本書は、ハーディ、リトルウッド、ポーヤという数学界の巨星たちが、数学のあらゆる分野において重要な役割を果たす不等式たちについて、その起源を遡り、コンパクトに証明をまとめた書。原題 Inequalities。1934年にCambridge University Pressから初版が出版されて以来、70年の長きにわたって読み継がれてきた名著。前半では「算術平均と幾何平均の定理」「ヘルダーの不等式」などの重要かつ基本的な不等式を証明し、後半ではさらに様々な不等式を紹介。複素関数の理論、フーリエ級数の理論などへの格好の入門ともなっている。

目次

第1章 序論
 1.1 有限不等式、無限不等式、積分不等式
 1.2 記法
 1.3 正値不等式
 1.4 同次方程式
 1.5 代数的不等式の公理的基礎
 1.6 比較可能関数
 1.7 証明方法
 1.8 主題の選択
第2章 基本的平均
 2.1 通常の平均
 2.2 ウエイト付き平均
 2.3 mr(a)の極限
 2.4 コーシーの不等式
 2.5 算術平均と幾何平均の定理
 2.6 平均の定理の別証明
 2.7 ヘルダーの不等式とその拡張
 2.8 ヘルダーの不等式とその拡張(続き)
 2.9 平均mr(a)の一般的な性質
 2.10 和Gr(a)
 2.11 ミンコフスキの不等式
 2.12 ミンコフスキの不等式の類似
 2.13 基本的不等式の実例と応用
 2.14 帰納法による基本的不等式の証明
 2.15 定理37に関連する基本的不等式
 2.16 定理3の初等的証明
 2.17 チェビシフの不等式
 2.18 ムーアヘッドの定理
 2.19 ムーアヘッドの定理の証明
 2.20 関連する定理
 2.21 対称的平均に関する定理
 2.22 n正変数の基本対称関数
 2.23 定値形式についての注意
 2.24 狭義正値形式に関する定理
第3章 関数の平均と凸関数の理論
 3.1 定義
 3.2 平均の同値
 3.3 平均mrを特徴付ける性質
 3.4 比較可能性
 3.5 凸関数
 3.6 連続凸関数
 3.7 連続凸関数の幾何学的特徴付け
 3.8 基本的な不等式における等号
 3.9 定理85の言い換えと拡張
 3.10 2階微分可能な凸関数
 3.11 2階微分可能な凸関数の性質の応用
 3.12 多変数凸関数
 3.13 ヘルダーの不等式の一般化
 3.14 単調関数に関するいくつかの定理
 3.15 任意の関数の和:イェンセンの不等式の一般化
 3.16 ミンコフスキの不等式の一般化
 3.17 集合の比較
 3.18 凸関数の一般的な性質
 3.19 連続凸関数の性質
 3.20 不連続な凸関数
第4章 微分積分学の応用
 4.1 序言
 4.2 平均値の定理の応用
 4.3 微分学の基礎事項の応用
 4.4 1変数関数の最大値・最小値
 4.5 テイラー級数の応用
 4.6 多変数関数の最大値・最小値の理論の応用
 4.7 級数と積分の比較
 4.8 ヤングの不等式 
第5章 無限級数
 5.1 助言
 5.2 平均mr
 5.3 定理3と定理9の一般化
 5.4 ヘルダーの不等式とその拡張
 5.5 平均mr(続き)
 5.6 和Gr
 5.7 ミンコフスキの定理
 5.8 チェビシェフの不等式
 5.9 要約
第6章 積分
 6.1 ルベーグ積分に関する注意
 6.2 零集合と零関数に関する注意
 6.3 積分に関するその他の注意
 6.4 証明方法に関する注意
 6.5 証明方法に関する注意:シュワルツの不等式
 6.6 平均mr(f)(r≠0)の定義
 6.7 関数の幾何平均
 6.8 幾何平均の性質
 6.9 積分に対するヘルダーの不等式
 6.10 平均mr(f)の一般的性質
 6.11 平均mr(f)の一般的性質(続き)
 6.12 logmrrの凸性
 6.13 積分に対するミンコフスキの不等式
 6.14 関数の積分平均
 6.15 スティルチェス積分の定義
 6.16 特別な場合のスティルチェス積分
 6.17 これまでの定理の拡張
 6.18 平均mr(f;φ)
 6.19 分布関数
 6.20 平均の特徴付け
 6.21 平均を特徴付ける条件に関する注意
 6.22 定理215の証明の完成  
第7章 変分法の応用
 7.1 いくつかの一般的注意
 7.2 本章の目標
 7.3 上限・下限と取り得ない不等式の例
 7.4 定理254の証明
 7.5 定理254の第2の証明
 7.6 変分法を用いる例
 7.7 その他の例:ヴィルティンガーの不等式
 7.8 2階導関数を含む例
 7.9 さらに易しい問題
第8章 双線形形式と多重線形形式に関する定理
 8.1 助言
 8.2 正変数と正係数の多重線形形式に関する不等式
 8.3 W.H.ヤングの定理
 8.4 一般化と類似
 8.5 フーリエ級数への応用
 8.6 正値多重線形形式の凸性に関する定理
 8.7 一般の双線形形式
 8.8 有界双線形形式に関する定理
 8.9 [p,q]において有界な双線形形式の性質
 8.10 [p,q´]に含まれる2つの双線形形式のたたみ込み
 8.11 [2,2]における双線形形式に関する定理
 8.12 ヒルベルト形式への応用
 8.13 変数および係数が複素数の双線形形式の凸性に関する定理
 8.14 最大値を与える集合(x,y)の性質
 8.15 定理295の証明
 8.16 M.リースの定理の応用
 8.17 フーリエ級数への応用
第9章 ヒルベルトの不等式とその類似と拡張
 9.1 ヒルベルトの2重級数定理
 9.2 一般の双線形形式に対する定理
 9.3 積分に対する定理
 9.4 定理318と定理319の拡張
 9.5 最良の定数:定理317の証明
 9.6 ヒルベルトの定理についての注意
 9.7 ヒルベルトの定理の応用
 9.8 ハーディの不等式
 9.9 積分不等式
 9.10 級数に関する不等式
 9.11 積分に関する定理から級数に関する定理を導く方法
 9.12 カーレマンの不等式
 9.13 0<p<1の場合の定理
 9.14 2つの媒介変数とpとqを含む定理
第10章 再配列
 10.1 変数のなす有限集合の再配列
 10.2 2つの集合の再配列に関する定理
 10.3 定理368の第2の証明
 10.4 定理368の言い換え
 10.5 3つの集合の再配列に関する定理
 10.6 定理373の特別な場合への還元
 10.7 証明の完成
 10.8 定理371の別証明
 10.9 任意の数の集合の再配列
 10.10 任意の数の集合の再配列に関するその他の定理
 10.11 応用
 10.12 関数の再配列
 10.13 2つの関数の再配列
 10.14 3つの関数の再配列
 10.15 定理379の証明の完成
 10.16 別証明
 10.17 応用
 10.18 関数の減少順の再配列に関する定理
 10.19 定理384の証明
付録Ⅰ 狭義正値形式
付録Ⅱ ソリンによる定理295の証明と拡張
付録Ⅲ ヒルベルトの不等式

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