内容紹介

本書は、ハーディ、リトルウッド、ポーヤという数学界の巨星たちが、数学のあらゆる分野において重要な役割を果たす不等式たちについて、その起源を遡り、コンパクトに証明をまとめた書。原題 Inequalities。1934年にCambridge University Pressから初版が出版されて以来、70年の長きにわたって読み継がれてきた名著。前半では「算術平均と幾何平均の定理」「ヘルダーの不等式」などの重要かつ基本的な不等式を証明し、後半ではさらに様々な不等式を紹介。複素関数の理論、フーリエ級数の理論などへの格好の入門ともなっている。

目次

第１章　序論
　１．１　有限不等式、無限不等式、積分不等式
　１．２　記法
　１．３　正値不等式
　１．４　同次方程式
　１．５　代数的不等式の公理的基礎
　１．６　比較可能関数
　１．７　証明方法
　１．８　主題の選択
第２章　基本的平均
　２．１　通常の平均
　２．２　ウエイト付き平均
　２．３　ｍｒ（ａ）の極限
　２．４　コーシーの不等式
　２．５　算術平均と幾何平均の定理
　２．６　平均の定理の別証明
　２．７　ヘルダーの不等式とその拡張
　２．８　ヘルダーの不等式とその拡張（続き）
　２．９　平均ｍｒ（ａ）の一般的な性質
　２．10　和Ｇｒ（ａ）
　２．11　ミンコフスキの不等式
　２．12　ミンコフスキの不等式の類似
　２．13　基本的不等式の実例と応用
　２．14　帰納法による基本的不等式の証明
　２．15　定理37に関連する基本的不等式
　２．16　定理３の初等的証明
　２．17　チェビシフの不等式
　２．18　ムーアヘッドの定理
　２．19　ムーアヘッドの定理の証明
　２．20　関連する定理
　２．21　対称的平均に関する定理
　２．22　ｎ正変数の基本対称関数
　２．23　定値形式についての注意
　２．24　狭義正値形式に関する定理
第３章　関数の平均と凸関数の理論
　３．１　定義
　３．２　平均の同値
　３．３　平均ｍｒを特徴付ける性質
　３．４　比較可能性
　３．５　凸関数
　３．６　連続凸関数
　３．７　連続凸関数の幾何学的特徴付け
　３．８　基本的な不等式における等号
　３．９　定理85の言い換えと拡張
　３．10　２階微分可能な凸関数
　３．11　２階微分可能な凸関数の性質の応用
　３．12　多変数凸関数
　３．13　ヘルダーの不等式の一般化
　３．14　単調関数に関するいくつかの定理
　３．15　任意の関数の和：イェンセンの不等式の一般化
　３．16　ミンコフスキの不等式の一般化
　３．17　集合の比較
　３．18　凸関数の一般的な性質
　３．19　連続凸関数の性質
　３．20　不連続な凸関数
第４章　微分積分学の応用
　４．１　序言
　４．２　平均値の定理の応用
　４．３　微分学の基礎事項の応用
　４．４　１変数関数の最大値・最小値
　４．５　テイラー級数の応用
　４．６　多変数関数の最大値・最小値の理論の応用
　４．７　級数と積分の比較
　４．８　ヤングの不等式　
第５章　無限級数
　５．１　助言
　５．２　平均ｍｒ
　５．３　定理３と定理９の一般化
　５．４　ヘルダーの不等式とその拡張
　５．５　平均ｍｒ（続き）
　５．６　和Ｇｒ
　５．７　ミンコフスキの定理
　５．８　チェビシェフの不等式
　５．９　要約
第６章　積分
　６．１　ルベーグ積分に関する注意
　６．２　零集合と零関数に関する注意
　６．３　積分に関するその他の注意
　６．４　証明方法に関する注意
　６．５　証明方法に関する注意：シュワルツの不等式
　６．６　平均ｍｒ（ｆ）（ｒ≠０）の定義
　６．７　関数の幾何平均
　６．８　幾何平均の性質
　６．９　積分に対するヘルダーの不等式
　６．10　平均ｍｒ（ｆ）の一般的性質
　６．11　平均ｍｒ（ｆ）の一般的性質（続き）
　６．12　logｍｒｒの凸性
　６．13　積分に対するミンコフスキの不等式
　６．14　関数の積分平均
　６．15　スティルチェス積分の定義
　６．16　特別な場合のスティルチェス積分
　６．17　これまでの定理の拡張
　６．18　平均ｍｒ（f;φ）
　６．19　分布関数
　６．20　平均の特徴付け
　６．21　平均を特徴付ける条件に関する注意
　６．22　定理215の証明の完成　　
第７章　変分法の応用
　７．１　いくつかの一般的注意
　７．２　本章の目標
　７．３　上限・下限と取り得ない不等式の例
　７．４　定理254の証明
　７．５　定理254の第２の証明
　７．６　変分法を用いる例
　７．７　その他の例：ヴィルティンガーの不等式
　７．８　２階導関数を含む例
　７．９　さらに易しい問題
第８章　双線形形式と多重線形形式に関する定理
　８．１　助言
　８．２　正変数と正係数の多重線形形式に関する不等式
　８．３　Ｗ．Ｈ．ヤングの定理
　８．４　一般化と類似
　８．５　フーリエ級数への応用
　８．６　正値多重線形形式の凸性に関する定理
　８．７　一般の双線形形式
　８．８　有界双線形形式に関する定理
　８．９　[ｐ，ｑ]において有界な双線形形式の性質
　８．10　[ｐ，ｑ´]に含まれる２つの双線形形式のたたみ込み
　８．11　[２，２]における双線形形式に関する定理
　８．12　ヒルベルト形式への応用
　８．13　変数および係数が複素数の双線形形式の凸性に関する定理
　８．14　最大値を与える集合（ｘ，ｙ）の性質
　８．15　定理295の証明
　８．16　Ｍ．リースの定理の応用
　８．17　フーリエ級数への応用
第９章　ヒルベルトの不等式とその類似と拡張
　９．１　ヒルベルトの２重級数定理
　９．２　一般の双線形形式に対する定理
　９．３　積分に対する定理
　９．４　定理318と定理319の拡張
　９．５　最良の定数：定理317の証明
　９．６　ヒルベルトの定理についての注意
　９．７　ヒルベルトの定理の応用
　９．８　ハーディの不等式
　９．９　積分不等式
　９．10　級数に関する不等式
　９．11　積分に関する定理から級数に関する定理を導く方法
　９．12　カーレマンの不等式
　９．13　０＜ｐ＜１の場合の定理
　９．14　２つの媒介変数とｐとｑを含む定理
第10章　再配列
　10．１　変数のなす有限集合の再配列
　10．２　２つの集合の再配列に関する定理
　10．３　定理368の第２の証明
　10．４　定理368の言い換え
　10．５　３つの集合の再配列に関する定理
　10．６　定理373の特別な場合への還元
　10．７　証明の完成
　10．８　定理371の別証明
　10．９　任意の数の集合の再配列
　10．10　任意の数の集合の再配列に関するその他の定理
　10．11　応用
　10．12　関数の再配列
　10．13　２つの関数の再配列
　10．14　３つの関数の再配列
　10．15　定理379の証明の完成
　10．16　別証明
　10．17　応用
　10．18　関数の減少順の再配列に関する定理
　10．19　定理384の証明
付録I　狭義正値形式
付録II　ソリンによる定理295の証明と拡張
付録III　ヒルベルトの不等式

出版社からのメッセージ

本書は、2003年10月にシュプリンガー・ジャパン株式会社より出版された同名書籍を再出版したものです。

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本書は、少部数印刷にて重版が可能です。
在庫僅少の場合でもご注文いただけますので、お問い合わせください。
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本書は、書籍からスキャナによる読み取りを行い、印刷・製本を行っています。
一部、装丁が異なったり、印刷が不明瞭な場合がございますが、ご了承くださいますようお願い申し上げます。
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