正多胞体

正多胞体

高次元正多面体原論
原書名 REGULAR POLYTOPES 3rd ed.
著者名 一松 信 監訳
岡田 好一
日野 雅之
宮崎 興二
発行元 丸善出版
発行年月日 2022年07月
判型 A5 210×148
ページ数 350ページ
ISBN 978-4-621-30726-7
Cコード 3341
NDCコード 414
ジャンル 数学・統計学 >  幾何学
数学・統計学 >  シリーズ数学・統計学 >  数学クラシックス

内容紹介

多面体宇宙論などに多大な影響を与えるなど,科学界では高次元のかたちへの関心が非常に高まっている.その概念を理解するうえで不可欠な基礎知識が「高次元幾何学」である.本書ではその中心テーマである高次元正多面体つまり正多胞体の幾何学について,古典的入門的な話題から現代的な新理論までを,2次元の多角形や3次元の多面体の話題も交えて幅広く詳細にまとめる.線形代数・解析幾何・射影幾何を駆使しながら数学的厳密さを追求するとともに,諸科学への応用が可能な重要ポイントについては図を用いて簡潔にまとめられているため,周辺分野の研究者にとっても大変役立つ内容になっている.幾何学を救った幾何学者コクセターの代表作の初邦訳.

目次

第1章 多角形と多面体
  第1節 正多角形                      
  第2節 多面体                       
  第3節 5 種類のプラトンの立体
  第4節 グラフとマップ
  第5節 “世界一周の旅”
  第6節  オイラーの多面体公式
  第7節 正則マップ                     
  第8節 配置                        
  第9節 歴史的考察                     
第2章 正多面体と準正多面体
  第1節 正多面体
  第2節 双対変換
  第3節 準正多面体
  第4節 半径と中心角
  第5節 デカルトの公式
  第6節 ペトリ多角形
  第7節 菱形 12 面体と菱形 30 面体
  第8節 ゾーン多面体
  第9節 歴史的考察
第3章 回転群
  第1節 合同変換
  第2節 一般の変換
  第3節 群
  第4節 対称操作
  第5節 正多面体群
  第6節 5種類の正複合体
  第7節 正多面体と準正多面体の頂点の座標
  第8節 有限回転群の完全な数え上げ
  第9節 歴史的考察
第4章 タイル貼りとブロック積み
  第1節 3種類の正タイル貼り
  第2節 準正則タイル貼りと菱形タイル貼り
  第3節 2次元の回転群
  第4節 頂点の座標
  第5節 対称線
  第6節 立方体による空間充填
  第7節 他のブロック積み
  第8節 要素数の比率
  第9節 歴史的考察
第5章 万華鏡
  第1節 1種類または2種類の平面、直線、点による鏡映
  第2節 3線または4線による鏡映
  第3節 基本領域と生成関係
  第4節 同一点を共有する3平面による鏡映
  第5節 4、5、6 平面による鏡映
  第6節 グラフによる表現
  第7節 ワイソフによる構成
  第8節 双対正多面体に関するパップスの観察
  第9節 ペトリ多角形と中心対称
  第10節 歴史的考察
第6章 星形多面体
  第1節 星形多角形
  第2節 プラトンの立体の星形化
  第3節 プラトンの立体の面切断
  第4節 正多面体の一般化
  第5節 リーマン面による追加考察
  第6節 同型
  第7節 正多面体は9種類だけか
  第8節 シュワルツの3角形
  第9節 歴史的考察
第7章 高次元の正多胞体
  第1節 次元の類推
  第2節 角錐、重角錐、角柱
  第3節 一般的な球
  第4節 多胞体と高次元ブロック積み
  第5節 正則性
  第6節 一般正則多胞体の対称群
  第7節 シュレーフリの判定基準
  第8節 可能な正則図形の数え上げ
  第9節 特性単体
  第10節  歴史的考察
第8章 切頂
  第1節 正多胞体の単純な切頂操作
  第2節 チェザロによる正 24 胞体{3, 4, 3}の構成
  第3節 整合向き付け
  第4節 ねじれ24胞体s{3,4,3}
  第5節 ゴセットによる正600胞体{3,3,5}の構成
  第6節 部分切頂、もしくは交互選択
  第7節 デカルト座標
  第8節 計量的特性
  第9節 歴史的考察
第9章 ポアンカレによるオイラーの公式の証明
  第1節 シュレーフリによるオイラーの公式の一般化
  第2節 接続行列
  第3節 k鎖の代数学
  第4節 一次従属と階数
  第5節 k閉路
  第6節 境界 k 閉路
  第7節 単連結性の必要条件
  第8節 ブロック積みのための類似式
  第9節 歴史的考察:オイラーの多面体公式を満たさない多胞体
第10章  形式、ベクトル、座標
  第1節 実2次形式
  第2節 非正積項の2次形式
  第3節 半定値の判定基準
  第4節 ベクトル空間の共変および反変基底
  第5節 アフィン座標と逆格子
  第6節 一般的な鏡映
  第7節 法線座標
  第8節 n+1個の従属するベクトルで決定される単体
  第9節 歴史的考察
第11章 万華鏡の一般化
  第1節 鏡映により生成される離散群
  第2節 基本領域が単体であることの証明
  第3節 グラフによる表現
  第4節 半正値2次形式、ユークリッド単体、無限群
  第5節 正値2次形式、球面単体、有限群
  第6節 ワイソフ構成
  第7節 正則図形とその切頂図形
  第8節 6 次元、7 次元、8 次元のゴセット図形
  第9節 鏡映による無限離散群の最大有限部分群のワイルによる位数決定
  第10節 歴史的考察
第12章 ペトリ多角形の一般化
  第1節 直交変換
  第2節 合同変換
  第3節 n回鏡映の積
  第4節 {p, q, ..., w}のペトリ多角形
  第5節 中心反転
  第6節 鏡映の数
  第7節 4面体のビーズによるネックレス
  第8節 4次元の h/g を決める有理式
  第9節 歴史的考察
第13章 断面と投影
  第1節 正多胞体の主な断面
  第2節 超平面への直投影
  第3節 正単体αn、正軸体βn、正測体γnの平面投影
  第4節 正単体αnと正軸体βnの新たな座標
  第5節 正 24 胞体{3, 4, 3}の正 12 角形投影
  第6節 正 600 胞体{3, 3, 5}の正 30 角形投影
  第7節 軸測星
  第8節 正測体の影
  第9節 歴史的考察
第14章 高次元の星形多胞体
 第1節 星形多胞体の概念
 第2節 正 120 胞体{5, 3, 3}の星形化
 第3節 体系的面分断
 第4節 4次元正多胞体の一般論
 第5節 三角関数による補助命題
 第6節 ファン・オスによる判定基準
 第7節 ペトリ多角形による判定基準
 第8節 密度の計算
 第9節 星形正多胞体と正ブロック積みの完全な数え上げ
 第10 節 歴史的考察
コクセター結語
付表で使用する記号の定義
付表
訳者あとがき
文献
索引
コクセター略伝

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