数学の認知科学

数学の認知科学

著者名 植野 義明
重光 由加
発行元 丸善出版
発行年月日 2012年12月
判型・装丁 四六 188×128 / 上製
ページ数 662ページ
ISBN 978-4-621-06504-4
Cコード 3041
ジャンル 数学・統計学 >  数学一般・基礎数学
数学・統計学 >  数学読み物 >  その他数学読み物

内容紹介

☆著者のジョージ・レイコフは、認知言語学の創設者の一人であり、すでに『レトリックと人生』、『肉中の哲学』、『認知意味論』など主要著書が邦訳。 本書は、数学の概念の美しさに長年魅せられてきた著者達が、数学的概念や抽象的概念とはどういうもので、人間はそれをどのようにして体得していくのかを論じた。たとえば、有限であるはずの人間が、どうして無限を扱ったり理解したりできるのかを、数学的概念の無限を通して、わかりやすく説明。さらに、言語心理学的な立場から、数学をする脳が人間に生得的であるのか?や、数学は人間固有の文化であるのか?など興味深い話題が考察。

目次

序論認知科学はなぜ数学にとって重要なのか1
心の本質に関する最近の発見. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

第I 部基本的な計算能力の身体化15
第1 章生まれながらの計算能力17
1.1 乳幼児は数を判別できる. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 スービタイズ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 動物にも数がわかる. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 下頭頂皮質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 脳から心へ,そして,基本的計算から数学へ. . . . . . 31

第2 章身体化された心の認知科学33
2.1 認知的無意識. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 日常の認知と数学の認知. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 空間的関係概念とイメージ・スキーマ. . . . . . . . . . 37
2.4 運動制御と数学的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 《起点–経路–着点スキーマ》. . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 概念の合成. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 概念メタファー. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 恋愛は共同事業である—–要素を導入するメタファー. . 58
2.9 概念メタファーにかかわる先行研究. . . . . . . . . . . 59
2.10 数学的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第3 章身体化された四則演算を基礎付ける4 つのメタファー65
3.1 数学の特殊性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 四則演算に必要な認知能力. . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 ものの集まりとしての四則演算. . . . . . . . . . . . . 71
3.4 初等的な四則演算の拡張. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 ものの組み立てとしての四則演算. . . . . . . . . . . . 85
3.6 《物差し》メタファー. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 経路に沿った移動としての四則演算. . . . . . . . . . . 91
3.8 代数学の基本メトニミー. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.9 0 と1 のメタファー的な意味. . . . . . . . . . . . . . . 97

第4 章四則演算の法則の生まれたところ99
4.1 4 つのG の重要性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 数は「もの」である. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 閉性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 数と数字. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 同値結果フレームと四則演算の法則. . . . . . . . . . . 112
4.6 4 つのG の拡張. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7 現実世界における四則演算の有効性とメタファー・ブレンド122
4.8 まとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.9 これらのメタファーに到達した論拠. . . . . . . . . . . 129

第II 部代数,論理,集合135
第5 章「本質」と代数137
5.1 「本質」と公理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 一般の代数的本質メタファー. . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 まとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

第6 章ブールのメタファー153
6.1 ブールのクラス. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 ブールのメタファー. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3 ブール代数の性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4 クラスに関する演算の記号化. . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5 認知的視点から見たブール. . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6 記号論理学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.7 推論法則の写像. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.8 まとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

第7 章集合と超集合177
7.1 集合論におけるいくつかの概念的な問題. . . . . . . . . 177
7.2 公理的集合論と超集合. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 数は集合であり,集合はグラフである. . . . . . . . . . 189
7.4 集合の本当の素顔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

第III 部無限の身体化197
第8 章無限の基本メタファー199
8.1 身体化された無限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2 継続プロセスは反復プロセスである. . . . . . . . . . . 201
8.3 実無限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4 BMI の起源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.5 「もの」としてのプロセス. . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.6 無限とは何か. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.7 「すべて」という概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.8 基本的な結論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

第9 章実数と極限235
9.1 自然数の数表記. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.2 無限小数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.3 無限多項式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.4 無限数列の極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.5 BMI を用いた極限の一般的概念. . . . . . . . . . . . . 250
9.6 無限和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.7 関数の極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.8 最小上界. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.9 0.9999 · · · = 1.0000 · · · か. . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.10 区間縮小法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.11 まとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
第10 章超限数271
10.1 カントルの対角線論法. . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.2 超限算術. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.3 ℵ0 を越えて. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.4 超限基数のヒエラルキー. . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.5 順序数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.6 まとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

第11 章無限小291
11.1 芥子粒のようなもの. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.2 無限小. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.3 BMI の暗黙の使用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.4 ロビンソンによる超実数. . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.5 グラニュー数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.6 超実数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.7 すべてのグラニュー数を超えて. . . . . . . . . . . . . 324
11.8 差を無視することが数学では重要である. . . . . . . . 328
11.9 閉性という原動力. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.10 2 つのタイプの無限大の数. . . . . . . . . . . . . . . 333
11.11 数学的概念分析は無限小の議論にどのように貢献するか334

第IV 部禁じられた空間と運動335
第12 章点と連続体337
12.1 空間の2 つの概念化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.2 点はどのように概念化されているか. . . . . . . . . . . 345
12.3 限りなく小さな点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.4 離散化された数学における点の概念化. . . . . . . . . . 356
12.5 ここまでのまとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.6 「実数直線」が直線ではない理由. . . . . . . . . . . . 368
12.7 「空間充填曲線」が空間を埋め尽くさない理由. . . . . 371
12.8 「連続体」とは何か. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
12.9 数学の概念分析がもたらす違い. . . . . . . . . . . . . 379

第13 章数の連続性381
13.1 デデキントの切断と連続性. . . . . . . . . . . . . . . . 383
13.2 量と測度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
13.3 デデキントによる実数の完備性の幾何学的な基礎. . . . 394
13.4 数の完備性としての連続性. . . . . . . . . . . . . . . . 396

第14 章空間も運動もない微積分399
14.1 離散化とモンスターの「克服」. . . . . . . . . . . . . 401
14.2 再び1872 年のドイツへ. . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.3 関数の極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
14.4 ワイエルシュトラスの算術化に隠されている幾何学. . . 411
14.5 ワイエルシュトラスとモンスターたち. . . . . . . . . . 412
14.6 ピアポントの講演. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.7 ワイエルシュトラスが成し遂げたこと. . . . . . . . . . 422
14.8 連続性とその対極としての離散性. . . . . . . . . . . . 423

口直しの一品—–無限の古典的パラドックス425
T.1 長さのパラドックス. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
T.2 集合の長さとは. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
T.3 長さの関数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
T.4 見かけ上のパラドックスの由来. . . . . . . . . . . . . 432
T.5 まとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

第V部数理哲学への影響439
第15 章「身体化された数学」の理論441
15.1 予告篇eπi +1 = 0 の意味の事例研究へ. . . . . . . . . 442
15.2 ロマンとの出会い. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
15.3 信条の問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
15.4 唯一の数学が身体化された数学である理由. . . . . . . . 453
15.5 推論の安定性と見かけの上の不朽不滅性. . . . . . . . . 461
15.6 等しく妥当だが互いに矛盾する数学の研究領域. . . . . 462
15.7 どのようにして文化は「もう1 つの数学」を生み出すのか464
15.8 身体化された数学の歴史的次元. . . . . . . . . . . . . 469
15.9 身体化された数学とポストモダン主義. . . . . . . . . . 473

第16 章「身体化された数学」の哲学477
16.1 数学の身体性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
16.2 存在論と真理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
16.3 いくつかの例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
16.4 ここまでのまとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
16.5 形式的還元メタファー. . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
16.6 数学的概念と「直観」. . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
16.7 等しいとは. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
16.8 数学の姿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

第VI 部eπi + 1 = 0
古典数学の認知構造の事例研究497
事例研究A 解析幾何学と三角法499
A.1 問題は何か. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
A.2 解析幾何学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
A.3 数の意味. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
事例研究B e とは何か519
B.1 底. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
B.2 指数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
B.3 b0 とは何か. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
B.4 変化の数学的メタファー. . . . . . . . . . . . . . . . . 528
B.5 e とは何か. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
B.6 補遺. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
事例研究C i とは何か545
C.1 複素数と通常の認知. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
C.2 方程式と閉性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
C.3 i はどこから生まれ,何が「想像上」なのか. . . . . . . 549
C.4 90
◦ 回転平面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
事例研究D eπi + 1 = 0
古典数学の基本的概念の統合563
D.1 パズルのピースを嵌め合わせる. . . . . . . . . . . . . 563
D.2 数学的概念の分析学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
D.3 eπi +1 = 0 のための概念ネットワーク. . . . . . . . . 567
D.4 eyi = cosy + i sin y となる理由. . . . . . . . . . . . . 574
D.5 最後の結論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

参考文献587
訳者あとがき615
索引619

定価:本体5,200円+税
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