シリーズ紹介

学問は絵の具、心はキャンバス。 思い思いの色を混ぜ合わせ、自身のキャンバスを豊かな教養で彩ってみませんか? サイエンス分野の教養を1冊にまとめ、あなたの「知りたい」に応えます。

内容紹介

17世紀に微積分学が開花して以来、微分方程式から物理や工学のさまざまな現象を解き明かそうと多くの学者たちが努力してきた。その過程で新しい数学概念が生まれたり、微分方程式が予期せぬことがらを暗示したりと、自然科学と数学は互いに大きな影響を受けながら育みあってきた。本書は、湯川秀樹の弟子で素粒子物理を専門とし、物理、数学に卓越した著者が、微分方程式でどのようなことが論じられるかをコンパクトに描く。

目次

第１章　微積分学入門
　１　初等関数のおさらい
　　多項式／代数関数／指数関数と対数関数／三角関数／初等関数の微分公式
　２　関数とは何か
　　関数の定義／連続関数
　３　微分の定義
　　微分法／微分の商と導関数の違い／偏微分と全微分
　４　ライプニッツ規則
　　微分の基本的性質／高階微分／線形演算子
　５　積分の定義
　　微分の逆演算としての積分の定義／積分公式／微分概念を用いない積分の定義／定積分に関する注意／微積分学の基本定理／積分表示は万能兵器
　６　テイラー展開
　　テイラー展開の導出／初等関数のテイラー展開
　７　オイラーの公式
　　複素平面／三角関数と指数関数の関係／対数関数の多価性
　８　解析関数
　　正則関数―微分可能なら何回でも／コーシーの定理―１周する積分は０／コーシーの積分表示―解析関数の真骨頂／テイラー展開／一致の定理―「天賦の関数」／ローラン展開―特異点周りの展開／リーマン面―解析関数御用達の複素平面
　９　ガンマ関数とベータ関数
　　ガンマ関数―複素数階乗／ベータ関数―しばしば現れる定積分／ガンマ関数の公式
　10　超関数
　　デルタ関数―単位質量の質点の密度分布／シュヴァルツの超関数／極限と積分の順序交換の問題／デルタ
　　関数とコーシーの積分表示／コーシーの主値／Ｙ超関数／解析関数の境界値
第２章　微分方程式
　１　微分方程式とは
　　ガリレイとケプラー，そしてニュートン／ニュートンの運動方程式／常微分方程式／任意定数／変換に対する不変性／微分方程式を解くさいの注意
　２　１階微分方程式
　　現象論的モデル／変数分離型／同次スケール変換不変性／線形微分方程式／完全微分方程式／積分因子／非正規型微分方程式
　３　高階微分方程式の解法
　　並進不変性がある場合／スケール不変性がある場合／積分因子
　４　線形微分方程式
　　同次線形微分方程式／ロンスキアン―解の独立性／非同次線形微分方程式／非同次線形微分方程式の一般解／定数係数同次線形微分方程式
　５　２階線形微分方程式
　　係数関数の基本解系による表示／確定特異点／級数展開による解法／決定方程式の２つの解が整数差の場合
　６　特殊関数
　　超幾何微分方程式／超幾何関数／超幾何関数の積分表示／ルジャンドルの微分方程式／ルジャンドル多項式／ベッセルの微分方程式／ベッセル関数／ラゲールの微分方程式／ラゲール多項式
　７　固有値問題
　　境界値問題／自己随伴微分方程式／スツルム・リューヴィルの理論／直交性の証明／完全直交系／フーリエ級数／直交多項式／多重振り子／鎖振り子
　８　偏微分方程式
　　偏微分方程式について／２階同次線形偏微分方程式／ラプラシアンを含む方程式／２次元ラプラシアンの極座標への変換／３次元ラプラシアンの極座標への変換／波動方程式／連立偏微分方程式
第３章　微分演算子の解析学
　１　演算子法
　　微分演算子の関数／ヘヴィサイドの演算子法／ラプラス変換／ミクシンスキーの理論／具体例
　２　非整数階微分
　　複素数階微分／対数階微分／対数のべき乗階微分
　３　非可換量を含む定数係数線形常微分方程式　
　　ハイゼンベルク方程式／非可換量を含む線形代数方程式／非可換量を含む線形常微分方程式／分離可能性の証明／非可換量を含む微分方程式の解
コラム
　１　超関数の拡張と佐藤幹夫氏
　２　対称性と不変性
　３　微分方程式と特殊関数
　４　境界値問題とシュレディンガー方程式
　５　フーリエ解析
　６　積分変換

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