内容紹介

微分幾何学とトポロジーのいくつかの重要なテーマを微積分や線形代数、ベクトル解析などを前提として，直観的な理解や応用に重点をおき解説している。第１章では微分幾何学の基本的な道具である微分形式を導入する。第２章では直観が働きやすい曲線と曲面の微分幾何学を議論する。第３章では図形の一般化である多様体とその構造を導入し、第４章では多様体上の微分形式の積分としてStokesの定理を一般化する。第５章では、多様体の大域的性質を調べるホモロジーとコホモロジーについて述べ、代数学と微分構造の密接な関係を学ぶ。第６章では、多様体ファイバー束とその大域的な性質を特徴付ける特性類を調べる。第７章では、量子力学でも重要な指数定理とMorse理論を解説する。第８章では、もう一つの幾何学における代数的手法であるホモトピー理論の初歩について固体物理学の例を通して学ぶ。第９章ではカタストロフィー理論を紹介する。

目次

１　微分形式
　１．１　pベクトル
　１．２　pベクトルの外積
　１．３　微分形式
　１．４　外微分
　１．５　微分形式の変換
　１．６　完全形式と閉形式
　１．７　星印作用素
　１．８　Poincaréの補題（Euclid空間の場合）
２　曲線と曲面の微分幾何学
　２．１　曲線
　２．２　曲面
３　多様体
　３．１　多様体とは
　３．２　接空間
　３．３　Lie微分
　３．４　部分空間とFrobeniusの定理
　３．５　Lie群とLie代数
　３．６　Riemann幾何学
　３．７　ラプラシアンと調和形式
４　多様体と積分
　４．１　単体
　４．２　多様体上の積分
　４．３　Stokesの定理
５　ホモロジーとコホモロジー
　５．１　群論の準備
　５．２　ホモロジー群
　５．３　ホモロジー群の実例
　５．４　de Rhamコホモロジー理論
　５．５　Poincaréの補題とde Rhamの定理
　５．６　de Rhamコホモロジー群の例
６　ファイバー束と特性類
　６．１　ファイバー束とは
　６．２　ファイバー束における接続と曲率
　６．３　特性類
７　指数定理とMorse理論
　７．１　指数定理
　７．２　Morse理論
　７．３　量子力学
　７．４　超対称量子力学とMorse理論
８　ホモトピー理論
　８．１　動機付け
　８．２　基本群
　８．３　秩序変数の欠陥の分類
　８．４　高次ホモトピー群
９　カタストロフィー理論
　９．１　カタストロフィー理論の考え方
　９．２　Thomの定理と初等カタストロフィー

出版社からのメッセージ

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