微分幾何学とトポロジー
基礎系 数学

微分幾何学とトポロジー

著者名 東京大学工学教程編纂委員会
永長 直人
発行元 丸善出版
発行年月日 2016年09月
判型・装丁 A5 210×148 / 並製
ページ数 202ページ
ISBN 978-4-621-30067-1
Cコード 3341
NDCコード 414
ジャンル 数学・統計学 >  幾何学

内容紹介

微分幾何学とトポロジーのいくつかの重要なテーマを微積分や線形代数、ベクトル解析などを前提として,直観的な理解や応用に重点をおき解説している。第1章では微分幾何学の基本的な道具である微分形式を導入する。第2章では直観が働きやすい曲線と曲面の微分幾何学を議論する。第3章では図形の一般化である多様体とその構造を導入し、第4章では多様体上の微分形式の積分としてStokesの定理を一般化する。第5章では、多様体の大域的性質を調べるホモロジーとコホモロジーについて述べ、代数学と微分構造の密接な関係を学ぶ。第6章では、多様体ファイバー束とその大域的な性質を特徴付ける特性類を調べる。第7章では、量子力学でも重要な指数定理とMorse理論を解説する。第8章では、もう一つの幾何学における代数的手法であるホモトピー理論の初歩について固体物理学の例を通して学ぶ。第9章ではカタストロフィー理論を紹介する。

目次

1 微分形式
 1.1 pベクトル
 1.2 pベクトルの外積
 1.3 微分形式
 1.4 外微分
 1.5 微分形式の変換
 1.6 完全形式と閉形式
 1.7 星印作用素
 1.8 Poincaréの補題(Euclid空間の場合)
2 曲線と曲面の微分幾何学
 2.1 曲線
 2.2 曲面
3 多様体
 3.1 多様体とは
 3.2 接空間
 3.3 Lie微分
 3.4 部分空間とFrobeniusの定理
 3.5 Lie群とLie代数
 3.6 Riemann幾何学
 3.7 ラプラシアンと調和形式
4 多様体と積分
 4.1 単体
 4.2 多様体上の積分
 4.3 Stokesの定理
5 ホモロジーとコホモロジー
 5.1 群論の準備
 5.2 ホモロジー群
 5.3 ホモロジー群の実例
 5.4 de Rhamコホモロジー理論
 5.5 Poincaréの補題とde Rhamの定理
 5.6 de Rhamコホモロジー群の例
6 ファイバー束と特性類
 6.1 ファイバー束とは
 6.2 ファイバー束における接続と曲率
 6.3 特性類
7 指数定理とMorse理論
 7.1 指数定理
 7.2 Morse理論
 7.3 量子力学
 7.4 超対称量子力学とMorse理論
8 ホモトピー理論
 8.1 動機付け
 8.2 基本群
 8.3 秩序変数の欠陥の分類
 8.4 高次ホモトピー群
9 カタストロフィー理論
 9.1 カタストロフィー理論の考え方
 9.2 Thomの定理と初等カタストロフィー

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