内容紹介

微積分をベクトル空間へと発展させたベクトル解析は力学、電磁気学、流体力学などにとって欠かせない方法論であるとともに、その概念は微分幾何学やトポロジーと自然に結びつく。本書は東京大学工学部で数学の講義を担当した執筆者たちによって、そのベクトル解析について主に場とそれらを関連づける微分演算子や、重要な積分定理を解説した一冊である。第１章で基盤となるベクトル空間について確認した後、第２章でスカラー場、ベクトル場、テンソル場を解説する。第３章では導入としてベクトル関数を見た後、第４章で微分演算子である勾配、発散、回転について述べる。第５章では線積分、面積分について直観的な定義で述べた後で厳密に定式化する。第６章では重要なStokesの定理やGaussの定理を、第７章では有用な諸公式を説明する。第８章では実践的な観点から座標変換を解説する。第９章では物理学でのいくつかの応用を紹介する。

目次

１　ベクトル空間
　１．１　線形空間
　１．２　基底と成分表示
　１．３　内積と距離
　１．４　ベクトル積
　１．５　正射影
２　スカラー場，ベクトル場，テンソル場
　２．１　場という考え方
　２．２　変換性
３　ベクトル関数
　３．１　１変数のベクトル関数
　３．２　２変数のベクトル関数
４　場の諸微分
　４．１　スカラー関数の勾配
　４．２　ベクトル場の発散
　４．３　ベクトル場の回転
５　線積分，面積分
　５．１　２次元，３次元積分の復習
　５．２　線積分
　５．３　面積分
６　積分定理
　６．１　Stokesの定理
　６．２　Greenの定理
　６．３　Gaussの定理
７　ベクトル解析の諸公式とその応用
　７．１　ベクトル解析における有用な公式とその導出
　７．２　積分定理と微分公式の応用
　７．３　完全微分（ポテンシャル）の条件
　７．４　Helmholtzの分解定理
８　座標変換と曲線座標系
　８．１　曲線座標
　８．２　直交曲線座標
　８．３　一般座標系での微分演算子
　８．４　さまざまな直交座標系
９　ベクトル方程式の例
　９．１　古典力学から
　９．２　拡散方程式
　９．３　流体力学への応用
　９．４　電磁気学から

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