鏡映の数学

有限鏡映群の幾何学

原書名	Mirrors and Reflections The Geometry of Finite Reflection Groups
著者名	小林　雅人 訳 陶山　大輔 訳 塚本　靖之 訳 中島　規博 訳 東谷　章弘 訳
発行元	丸善出版
発行年月日	2015年08月
判型	A5　210×148
ページ数	238ページ
ISBN	978-4-621-08962-0
Cコード	3041
NDCコード	411
ジャンル	数学・統計学 >  幾何学

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内容紹介

本書は鏡映で生成される有限鏡映群を幾何学的側面から初等的に扱った入門書である。鏡映群とルート系の理論は特にリー代数への応用があり様々な数学理論の核となっているが、リー代数やルート系に関する日本語の文献は多くても鏡映群を詳しく論じたものはきわめて少ない。本書は「鏡映群」と「ルート系」をキーワードに鏡が引き起こす（あるいは鏡像、鏡映の）対称性を論じ、その範囲はルート系、超平面配置、多面体論、コクセター群など多くの分野にわたる。本書では特に閉鏡系の役割を強調した。これは、主な対象を直截的に定義できたり、正多面体などの身近な対象を扱えるため視覚的な興味を持てたり、幾何学的直観を援用した理解を進められるためである。本書は学部２〜４年生でも読めるように慎重にデザインされている。必要な予備知識はそれほど多くはなく、鏡映群の理論にすんなりと入ることができるだろう。

目次

まえがき
第I部　幾何学的背景
　第１章　アフィン空間ARn
　　１．１　ユークリッド空間Rn
　　１．２　アフィン空間ARn
　　１．３　アフィン部分空間
　　１．４　半空間
　　１．５　基底と座標
　　１．６　凸集合
　第２章　ARnの等長変換
　　２．１　等長変換群の固定点
　　２．２　Isom ARnの構造
　第３章　超平面配置
　　３．１　超平面配置の面
　　３．２　部屋
　　３．３　ギャラリー
　　３．４　多面集合
　第４章　多面錐
　　４．１　有限多面錘
　　４．２　単純生成系
　　４．３　双対性
　　４．４　単体錘の双対性
　　４．５　単体錘の面
第II部　鏡，鏡映，ルート
　第５章　鏡と鏡映
　第６章　鏡系
　　６．１　鏡系
　　６．２　有限鏡映群
　第７章　二面体群
　　７．１　２個の対合によって生成される群
　　７．２　定理７．１　の証明
　　７．３　二面体群：幾何学的解釈
　第８章　ルート系
　　８．１　鏡と法ベクトル
　　８．２　ルート系
　　８．３　平面的ルート系
　　８．４　正ルート系および単純ルート系
　第９章　An-1，BCn，Dn型のルート系
　　９．１　An-1のルート系
　　９．２　Cn型およびBn型のルート系
　　９．３　Dn型のルート系
第III部　コクセター複体
　第10章　部屋
　第11章　生成性
　　11．１　単純鏡映
　　11．２　折りたたみ
　　11．３　ギャラリーと道
　　11．４　C上のWの作用
　　11．５　道と折りたたみ
　　11．６　C上のWの単純推移性：定理11．６の証明
　第12章　コクセター複体
　　12．１　コセクター複体のラベル付け
　　12．２　Wの元の長さ
　　12．３　反対の部屋
　　12．４　等方群
　　12．５　放物型部分群
　第13章　剰余
　　13．１　剰余
　　13．２　例
　　13．３　剰余の鏡系
　　13．４　剰余と凸性
　　13．５　剰余：ゲート性
　　13．６　反対の部屋
　第14章　一般化置換多面体
第IV部　分類
　第15章　生成元と関係式
　　15．１　鏡映群とコクセター群
　　15．２　定理15．１の証明
　第16章　有限鏡映群の分類
　　16．１　コクセターグラフ
　　16．２　可約鏡映群
　　16．３　ラベル付けされたグラフと双線形形式
　　16．４　正値グラフの分類
　第17章　ルート系の構成
　　17．１　An型のルート系
　　17．２　Bn型のルート系（n≥2）
　　17．３　Cn型のルート系（n≥2）
　　17．４　Dn型のルート系（n≥4）
　　17．５　E8型のルート系
　　17．６　E7型のルート系
　　17．７　E6型のルート系
　　17．８　F4型のルート系
　　17．９　G2型のルート系
　　17．10　結晶条件
　第18章　鏡映群の位数
第V部　３次元鏡映群
　第19章　３次元空間の鏡映群
　　19．１　平面鏡系
　　19．２　鏡系による球面のタイル張り
　　19．３　球面三角形の面積
　　19．４　３次元空間における有限鏡映群の分類
　第20章　正二十面体
　　20．１　構成
　　20．２　一意性と剛性
　　20．３　正二十面体の対称性の群
第VI部　付録
　付録Ａ　忘れられた技芸：黒板の図画
　付録Ｂ　演習問題のヒントと解法