証明の楽しみ 基礎編

証明の楽しみ 基礎編

数学を使いこなす練習をしよう
原書名 Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics
著者名 鈴木 治郎
発行元 丸善出版
発行年月日 2003年12月
判型 A5 210×148
ページ数 288ページ
ISBN 978-4-621-06618-8
Cコード 3041
ジャンル 数学・統計学 >  数学一般・基礎数学
数学・統計学 >  論理学

内容紹介

数学の知識を理解していくことのほとんどは、数学の証明に現れる技巧のいくつかに慣れることにある。本書は数学を高校で少し学んだ程度の人が、本格的な数学を学習できるようになるための橋渡しとなる一冊。 初年級数学を修了した学生が証明手法を理解することおよび証明を上手に書くことを助けるために書かれた。

目次

第0章 数学を扱う

第1章 集合
 1.1 集合の記述
 1.2 特別な集合
 1.3 部分集合
 1.4 集合の演算
 1.5 集合の添え字の集まり
 1.6 集合の直和分割
 1.7 集合の直積

第2章 論理
 2.1 命題
 2.2 命題の否定
 2.3 命題の論理積と論理和
 2.4 含意
 2.5 さらに含意について
 2.6 同値条件
 2.7 トートロジーと矛盾
 2.8 論理同値
 2.9 論理同値の基本性質
 2.10 命題の特徴付け
 2.11 限定命題とそれらの否定

第3章 直接証明と対遇による証明
 3.1 自明かつ無意味な証明
 3.2 直接証明
 3.3 対遇による証明
 3.4 場合分け証明
 3.5 証明の評価

第4章 直接証明と対偶による証明の続き
 4.1 整数の整除性を含む証明
 4.2 整数の合同性を含む証明
 4.3 実数に関する証明
 4.4 集合に関する証明
 4.5 集合演算の基本性質
 4.6 集合の直積集合に関する証明

第5章 背理法
 5.1 背理法
 5.2 背理法の例
 5.3 3囚人の問題
 5.4 背理法による証明の他の例
 5.5 √2の無理数性
 5.6 3つの証明手法のまとめ

第6章 証明または反証
 6.1 数学における予想
 6.2 限定作用素の概用
 6.3 証明の存在
 6.4 限定命題の否定の復習
 6.5 反例
 6.6 命題の反証
 6.7 命題のテスト
 6.8 「証明または反証」問題のクイズ

第7章 同値関係
 7.1 関係
 7.2 反射、対称、推移関係
 7.3 同値関係
 7.4 同値類の性質
 7.5 nを法とした合同
 7.6 nを法とした整数

第8章 関数
 8.1 関数の定義
 8.2 AからBへの関数全体の集合
 8.3 単射(1対1)および全射(上への)関数
 8.4 全単射関数
 8.5 関数の合成
 8.6 逆関数
 8.7 置換

第9章 数学的帰納法
 9.1 整列定理
 9.2 数学的帰納法の原理
 9.3 数学的帰納法と数列の和
 9.4 数学的帰納法と不等式
 9.5 数学的帰納法と整除性
 9.6 帰納法の証明のまだある使い方
 9.7 最小性による反例の証明
 9.8 帰納法の強形式

第10章 集合の濃度
 10.1 個数同値である集合
 10.2 可算集合
 10.3 非可算集合
 10.4 集合の濃度の比較
 10.5 シュレーダー・ベルンシュタインの定理

定価:本体3,000円+税
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