古典群 不変式と表現

古典群 不変式と表現

原書名 The Classical Groups Their Invariants and Representations
著者名 蟹江 幸博
発行元 丸善出版
発行年月日 2012年03月
判型 A5 210×148
ページ数 436ページ
ISBN 978-4-621-06370-5
Cコード 3041
ジャンル 数学・統計学 >  幾何学
数学・統計学 >  シリーズ数学・統計学 >  数学クラシックス

内容紹介

プリンストン大学出版会から1939年に出版されたワイルの名著The Classical Groups、待望の邦訳。本書冒頭は「1925年に私は、E.カルタンの無限小の方法とI.シューアの積分を使う方法の手続きとを組み合わせて、半単純連続群の指標を決定することに成功したが、それ以来これらの中でも最も重要な群、特に非特異線形変換全体の群や直交群に対する決定的な結果を、直接的な代数的構成によって導くという目標に向かい合ってきた。」という一文から始まる。文献表、索引も充実の日本語版。 原著は、以降の数学のあり方に大きな影響を与えており、今や20世紀数学の最高の古典であることは誰もが認めるところだろう。これまで日本語訳がなかったのは1つの不思議でもあった。 本書は、19世紀に盛んに行われた不変式の理論を押し進め、さらに不変式論の立場からリー群の表現論を展開している。

目次

第1章 序論
 1.1 体,環,イデアル,多項式
 1.2 ベクトル空間
 1.3 直交変換,ユークリッドのベクトル幾何
 1.4 群,クラインのエルランゲン・プログラム,量
 1.5 不変量と共変量
第2章 ベクトル不変式
 2.1 これまでを振り返って
 2.2 不変式論の主要な命題
 A.第1主定理
 2.3 最初の例
 2.4 カペリの恒等式
 2.5 カペリの恒等式による第1主定理の簡約
 2.6 第2の例:ユニモデュラー群 SL(n)
 2.7 拡張定理.第3の例:階段変換の群
 2.8 反傾変数を含む場合の一般的方法
 2.9 第4の例:直交群
 B.直交群の詳細な観察
 2.10 直交群の,ケイリーの有理パラメータづけ
 2.11 形式的直交不変式
 2.12 任意の計量基本形式
 2.13 無限小の立場
 C.第2主定理
 2.14 ユニモデュラー群に対する命題を述べる
 2.15 カペリの形式的合同式
 2.16 ユニモデュラー群に対する第2主定理の証明
 2.17 直交群に対する第2主定理
第3章 行列代数と群環
 A.完全可約な行列代数の理論
 3.1 行列代数に関する基本概念.シューアの補題
 3.2 予備知識
 3.3 単純代数の表現
 3.4 ウェダーバーンの定理
 3.5 完全可約な行列代数とその交換子代数
 B.有限群の群環とその交換子代数
 3.6 問題を述べる
 3.7 群環の完全可約性
 3.8 形式的補題
 3.9 群環と交換子代数との相互性
 3.10 一般化
第4章 対称群と全線形群
 4.1 代数的閉体での有限群の表現
 4.2 ヤング対称子.1つの組合せ論的補題
 4.3 対称群の既約表現
 4.4 テンソル空間の分解
 4.5 量.展開
第5章 直交群
 A.展開代数と直交イデアル
 5.1 ユニモデュラー群のベクトル不変式再論
 5.2 直交群の展開代数
 5.3 形式的枠組みでの結果を与える
 5.4 直交素イデアル
 5.5 直交群に関連した抽象代数
 B.既約表現
 5.6 トレースの作用による分解
 5.7 全直交群の既約表現
 C.正格直交群
 5.8 クリフォードの定理
 5.9 正格直交群の表現
第6章 シンプレクティック群
 6.1 シンプレクティック群のベクトル不変式
 6.2 パラメータづけとユニタリ制限
 6.3 埋め込み代数とシンプレクティック群の表現
第7章 指標
 7.1 ユニタリ変換についての予備知識
 7.2 対称化または交代化のみに対する指標
 7.3 群全体での平均
 7.4 ユニタリ群の体積要素
 7.5 指標の計算
 7.6 GL(n) の表現. 共変式の数え上げ
 7.7 純粋に代数的なアプローチ
 7.8 シンプレクティック群の指標
 7.9 直交群の指標
 7.10 分解と×積
 7.11 ポアンカレ多項式
第8章 不変式の一般理論
 A.代数的部分
 8.1 古典的な不変式とクォンティックの不変式.グラムの定理
 8.2 シンボル法
 8.3 2項2次形式
 8.4 無理法
 8.5 付随的な注意  
 8.6 多項式イデアルに関するヒルベルトの定理
 8.7 GL(n) に対する第1主定理の証明
 8.8 添加の議論
 B.微積分的方法
 8.9 群芽とリー環
 8.10 不変式に対する微分方程式.絶対不変式と相対不変式
 8.11 ユニタリ・トリック
 8.12 古典群の連結性
 8.13 スピノール
 8.14 コンパクト群の不変式に対する有限整基底
 8.15 有限群に対する第1主定理
 8.16 不変微分とコンパクト・リー群のベッティ数
第9章 行列代数再論
 9.1 自己同型
 9.2 積に関する補題
 9.3 単純代数の積  
 9.4 添加
第10章 補遺
 A.無限小ベクトル不変式に関する,2.9節―2.13節と6.1節への補遺
 10.1 無限小直交不変量に対する恒等式
 10.2 直交群に対する第1主定理
 10.3 シンプレクティック群に対して同じこと
 B.シンプレクティック・イデアルと直交イデアルに関する,5.3節と6.2節,6.3節への補遺
 10.4 完全可約性についての命題
 10.5 シンプレクティック・イデアル
 10.6 全直交イデアルと正格直交イデアル
 C.8.7節,8.8節への補遺
 10.7 不変式に関する主定理の証明の改良
 D.基礎体の拡大についての,9.4節への補遺
 10.8 可除代数に対する体拡大の効果

出版社からのメッセージ

本書は、2004年12月にシュプリンガー・ジャパン株式会社より出版された同名書籍を再出版したものです。

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