内容紹介
離散幾何学とは、有限個の点、直線、円、平面、凸集合といった対象を扱い、その「組合せ的」な性質を追究する幾何学。たとえば「n個の直線で平面を分割するとき、領域の数は最大いくつになるか?」のような問題を考える。基礎的な事項を解説することから始め、重要なトピックスを精選し、図を豊富に用いて詳細に議論を展開。接続問題や(p,q)―定理など、最近の話題も数多く取り上げている。原著の出版以降、特に発展がめざましかった距離空間の近似埋め込みについては、著者により新たに2つの節が、この日本語版のために書き下ろされている。
目次
第1章 凸性の理論
1.1 線形部分空間,アフィン部分空間,一般の位置
1.2 凸集合,凸結合,分離定理
1.3 Radonの補題とHellyの定理
1.4 中心点定理とハム・サンドイッチ定理
第2章 格子とMinskowskiの定理
2.1 Minskowskiの定理
2.2 一般の格子
2.3 数論での応用
第3章 凸独立部分集合
2.1 Erdos-Szekeresの定理
3.2 Horton集合
4章 接続問題
4.1 問題の定式化
4.2 接続問題と単位距離の下界
4.3 点ー直線接続対と交差数
4.4 相異距離と交差数
4.5 点―直線接続対とカッティング
4.6 カッティング補題の弱いバージョン
4.7 カッティング補題:タイトな上界
第5章 凸多面体
5.1 幾何的相対性
5.2 H―多面体とV―多面体
5.3 凸多面体の面
5.4 面の数:巡回多面体
5.5 上限定理
5.6 Gale 変換
5.7 Voronoi図
第6章 アレンジメントにおける面の数
6.1 超平面アレンジメント
6.2 その他の幾何的対象のアレンジメント
6.3 k 以下レベルの頂点数
6.4 ゾーン定理
6.5 カッティング補題再訪
第7章 下側エンベロープ
7.1 線分アレンジメントとDavenport-Schinzel列
7.2 線分集合の下側エンベロープの超線形複雑さ
7.3Davenport-Schinzel列に戻って
7.4 線分に対するタイトな上界に向けて
7.5 高次元へ上がると:空間における三角形
7.6 平面上の曲線
7.7 代数曲面パッチ
第8章 凸集合の交わりパターン
8.1 分数版Hellyの定理
8.2 彩色版Caratheodoryの定理
8.3 Tverbergの定理
第9章 幾何的選択定理
9.1 第一選択補題
9.2 第二選択補題
9.3 順序タイプと同タイプ補題
9.4 ハイパーグラフの正則性補題
9.5 正比率選択補題
第10章 横断理論とε-ネット
10.1 一般的な準備:横断とマッチング
10.2 ε-ネットとVC次元
10.3 VC次元の有界性と応用
10.4 凸集合に対する弱ε-ネット
10.5 Hadwiger-Debrunner の (p,q )―問題
10.6 超平面横断に対する(p,q )―定理
第11章 点配置におけるk - 集合問題
11.1 定義と最初の評価
11.2 等分割辺の数が多い集合
11.3 Lovaszの補題と全ての次元に対する上界
11.4 平面に対する上界の改善
第12章 高次元多面体の2つの応用
12.1 弱理想グラフ予想
12.2 Burnn-Minkowski の不等式
12.3 半順序集合のソート
第13章 高次元における体積
13.1 体積,高次元のパラドックス,ネット
13.2 体積近似の難しさ
13.3 体積が大きい多面体の構成法
13.4 楕円体による凸体の近似
第14章 測度集中と概球面切断
14.1 球面上の測度集中
14.2 等周不等式と測度集中
14.3 Lipschit 関数の集中
14.4 概球面切断:はじめの一歩
14.5 中心対称多面体の面の数
14.6 Dvoretzkyの定理
第15章 有限距離空間のノルム空間への埋め込み
15.1 導入:近似埋め込み
15.2 Johnson-Lindenstraussの平坦化補題
15.3 数え上げによる下界
15.4 エクスパンダによるタイトな下界
15.6 Fourier変換によるタイトな下界
15.7 l ∞ に対する上界
15.8 Euclid 埋め込みに対する上界
15.9 近似埋め込みの進展:2002年―2005年
まとめ(各章の要点)
演習問題のヒント
参考文献
出版社からのメッセージ
本書は、2005年11月にシュプリンガー・ジャパン株式会社より出版された同名書籍を再出版したものです。
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本書は、少部数印刷にて重版が可能です。
在庫僅少の場合でもご注文いただけますので、お問い合わせください。
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