内容紹介

本書は位相幾何学、数論、数理物理学など多方面の分野に現れる「反復積分」に焦点をあてた解説書。反復積分の概念は逐次積分など古典的な微積分学にその原型を見いだすことができるが、本書では多様体上の微分形式の反復積分を多様体のループ空間の微分形式として定式化し、Ｋ．Ｔ．チェンによって創始されたループ空間のド・ラム理論と基本群のド・ラムホモトピー理論を基礎的な部分から解説。さらにサリバンの極小モデルによる有理ホモトピー理論との関連を述べるとともに、超平面配置、多重対数関数と多重ゼータ値、結び目のコンツェビッチ積分などへの応用を多岐に渡って統一的に扱っている。広く初学者に考慮し、本書の第１章は大学教養課程レベルの微積分の知識があれば読みこなせるように書かれている。読者は第２章以降へと読み進むことによって多様体とホモロジー論の基礎を学びながら、反復積分の基礎概念を修得することができる。

目次

第０章　反復積分――無限次元空間と非可換性への序章
第１章　反復積分の基礎概念
　１．１　１次微分形式の反復積分
　１．２　反復積分のホモトピー不変性
　１．３　微分方程式の解の反復積分表示
　１．４　多重対数関数
第２章　ループ空間上の微分形式
　２．１　多様体上の微分形式とde Rhamの定理
　２．２　変分法と道の空間上の微分形式
　２．３　一般の反復積分の定式化
　２．４　ループ空間のde Rham複体
第３章　反復積分とループ空間のコホモロジー
　３．１　ループ空間のキューブチェイン複体　
　３．２　スペクトル系列からの準備
　３．３　バー複体とループ空間のコホモロジー
　３．４　Adamsのコバー構成
　３．５　Chenの基本定理の証明
　３．６　コバー構成とループ空間のホモロジー
　３．７　自由ループ空間のコホモロジー
第４章　ホモロジー接続とホロノミー写像
　４．１　接続と曲率およびホロノミー
　４．２　Chenのホモロジー接続
　４．３　ループ空間のホモロジーとホロノミー写像
　４．４　Hodge分解とホモロジー接続
　４．５　Hopf不変量への応用
　４．６　自由ループ空間のホモロジーの代数構造
第５章　基本群とde Rhamホモトピー論
　５．１　１次微分形式の反復積分と基本群
　５．２　基本群についてのChenの定理の証明
　５．３　基本群のホロノミー表現
　５．４　降中心列とLie代数
　５．５　リンクの補集合の基本群への応用
　５．６　Sullivanの極小モデルと有理ホモトピー群
　５．７　基本群と１次極小モデル
第６章　無限小組みひも関係式とその応用
　６．１　超平面配置のバー複体
　６．２　ホロノミーLie代数と基本群の表現
　６．３　配置空間と組ひも群の遊園
　６．４　Kontsevich積分
　６．５　Drinfel'd結合子と多重ゼータ値
　６．６　配置空間のループ空間
第７章　反復積分と体積
　７．１　球面幾何と双曲幾何からの準備
　７．２　Schlafliの等式
　７．３　球面単位の体積の反復積分表示
　７．４　双曲体積への解析接続

出版社からのメッセージ

本書は、2009年４月にシュプリンガー・ジャパン株式会社より出版された同名書籍を再出版したものです。

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