固有値計算と特異値計算

固有値計算と特異値計算

著者名 一般社団法人 日本計算工学会
発行元 丸善出版
発行年月日 2019年12月
判型 A5 210×148
ページ数 214ページ
ISBN 978-4-621-30473-0
Cコード 3341
NDCコード 548
ジャンル 数学・統計学 >  確率・統計 >  機械学習・人工知能
数学・統計学 >  数値解析

内容紹介

固有値計算とは正方行列の特徴量である固有値・固有ベクトルを求めること,特異値計算とは一般の行列の特徴量である特異値・特異ベクトルを求めることを指す.特に多変量解析の主成分分析,重回帰分析,情報圧縮などの一手法として,コンピュータ性能の向上によって一般的になりつつあり,自然科学,工学をはじめとしたあらゆる分野での応用が進んでいる.

本書では固有値計算・特異値計算における基礎理論の解説に重点を置き,より正確に,かつより速く値を求める方法を解説し,アルゴリズムを通して理解を深められるつくりとした.

付録として,FORTRAN90またはFORTRANによる固有値計算のためのソースコードを収録した.

目次

1 あらまし
 1.1 固有値問題
 1.2 固有値と固有ベクトルの性質
 1.3 どの固有値が必要か
 1.4 アルゴリズム概観
  1.4.1 密行列の場合
  1.4.2 帯行列の場合
  1.4.3 疎行列の場合
 1.5 固有値と固有ベクトルの品質
 1.6 固有値問題ソフトウェア
 1.7 プログラム
2 密行列の固有値計算
 2.1 単一固有値の計算法
  2.1.1 最大固有値の計算法(べき乗法)
  2.1.2 最小固有値の計算法(逆反復法)
  2.1.3 2 番目,3 番目の固有値の計算法
 2.2 ヤコビ法
  2.2.1 ヤコビ法のアルゴリズム
  2.2.2 ヤコビ法の収束
  2.2.3 固有ベクトルの計算
 2.3 QR 法
  2.3.1 QR 分解
  2.3.2 QR 法のアルゴリズム
  2.3.3 QR 法の収束
  2.3.4 原点シフトによる加速
  2.3.5 陰的ダブルシフトQR 法
  2.3.6 固有ベクトルの計算
 2.4 ハウスホルダー3 重対角化を用いる方法
  2.4.1 ハウスホルダー変換
  2.4.2 ハウスホルダーQR 分解
  2.4.3 エルミート行列の3 重対角化
  2.4.4 ハウスホルダー逆変換
  2.4.5 ハウスホルダー順変換に対する性能改善
  2.4.6 3 重対角行列の固有値計算
 2.5 非対称行列の固有値計算
 2.6 一般化固有値問題
  2.6.1 B が対称正定値の場合
  2.6.2 一般の場合
  2.6.3 QZ 法
 2.7 非線形固有値問題
  2.7.1 非線形固有値問題の解法
 2.8 最新のアルゴリズム
  2.8.1 MRRR 法
  2.8.2 スペクトラル分割統治法
3 疎行列の固有値計算
 3.1 レイリー-リッツ法
 3.2 非対称行列の解法
  3.2.1 アーノルディ法
  3.2.2 ヤコビ-ダビッドソン法
 3.3 対称行列の解法
  3.3.1 ランチョス法
  3.3.2 LOBPCG 法
 3.4 量子力学に現れる固有値問題
  3.4.1 ハバードモデルのハミルトニアン
  3.4.2 ハミルトニアンの固有値計算
 3.5 プログラム
4 櫻井- 杉浦法
 4.1 行列のスペクトル分解
 4.2 周回積分による固有ベクトルの抽出
 4.3 数値積分による近似
 4.4 非線形固有値問題への適用
 4.5 櫻井-杉浦法のアルゴリズム
5 反復改良法
 5.1 連立1 次方程式に対する反復改良法
  5.1.1 アルゴリズム
  5.1.2 数値実験
 5.2 固有値問題に対する反復改良法
  5.2.1 アルゴリズム
  5.2.2 数値実験
 5.3 実対称行列の全固有ベクトルに対する反復改良法
  5.3.1 固有分解
  5.3.2 アルゴリズム
  5.3.3 収束定理
  5.3.4 数値実験
6 特異値問題
 6.1 特異値の性質
  6.1.1 他の数値計算との関係
 6.2 特異値計算アルゴリズム
  6.2.1 2 重対角化アルゴリズム
  6.2.2 2 重対角化アルゴリズム(ブロック版)
  6.2.3 2 重対角行列の特異値計算
7 高精度特異値分解
 7.1 QD 法
 7.2 陽的シフトつきQD 法
 7.3 DQDS 法
  7.3.1 実装の概略
  7.3.2 シフト戦略
  7.3.3 収束判定条件の設計
 7.4 OQDS 法
  7.4.1 特異ベクトル計算
  7.4.2 OQDS 法の行列要素表示
  7.4.3 シフト戦略
  7.4.4 ギブンス回転と一般化ギブンス回転の実装
  7.4.5 収束判定条件の設計
 7.5 プログラム

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